- #1
Entertainment Unit
- 16
- 1
Homework Statement
Determine whether the given series is absolutely convergent, conditionally convergent, or divergent.
##\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 10}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9} + \ldots + \frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (3n - 2)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (2n + 1)} + \ldots##
Homework Equations
None that I'm aware.
The Attempt at a Solution
Before I can apply any of the convergence tests, I need a closed-form expression.
##a_n = \frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (3n - 2)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (2n + 1)}##
##= \frac{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (3n - 2)}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (2n + 1)}##
##= \frac{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (3n - 2)(4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot 2n(2n + 1)}##
##= \frac{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (3n - 2)2(2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n)}{(2n + 1)!}##
##= \frac{2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (3n - 2)2n!}{(2n + 1)!}##
##= \frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (3n - 2)4n!}{(2n + 1)!}##
and then I'm not sure where to go.